least-squares regression, 회귀분석, 수치해석,Linearization,population model

소개글

least-squares regression, 회귀분석, 수치해석,Linearization,population model

목차

◆ Problem : P.544 - 20.1
◎ Approach & Results ◎
◎ Graph Analysis ◎
◎ Comments ◎
◆ Programing Source
◆ Problem : P.551 - 20.4
◎ Comments ◎
◆ Programing Source

본문내용

◆ Problem : P.544 - 20.1
Population growth models are important in many fields of engineering. Fundamental to many of the models is the assumption that the rate of change of the population (dp/dt) is proportional to the actual population (p) at any time (t), or in equation form,
…………………………………………… ①
where k=a proportionality factor called the specific growth rate and has units of . If k is a constant, then solution of Eq. ① can be obtained form the theory of differential equation:
…………………………………………… ②
where the population when t=0. It is observed that p(t) in Eq. ② approaches infinity as t become large. This behavior is clearly impossible for real systems. Therefore, the model must be modified to make it more realistic.

◎ Comments ◎
주어진 데이터를 설명할 수 있는 모델로써 saturation-growth-rate model를 선택하였다. k와 f의 관계식은
로 택하였고, 상수는 위에서 설명한 바와 같다. k와 f를 각각 역수로 취해서 선형화한 후, least-square를 통해 기울기 ( ) 와 절편 ( )을 구하였다. 이로써 상수 K = 22.1927 과 kmax = 1.23043을 얻을 수 있었고, 이 값은 교과서의 솔루션과 같다고 할 수 있다.
문제를 풀기 전에 주어진 데이터를 역수 변환한 뒤, Excel을 이용해 그래프를 그리고, 추세선을 구해보았다 [ fig 1 ]. 기울기와 절편이 각각 18.035, 0.8128로 프로그램에서 얻은 18.0365, 0.812723과 거의 같은 값을 얻을 수 있었다. 직접 구한 수치가 맞는지 확인하고자 첫 번째로 그래프를 그려보았다. [ fig 2]는 ● 으로 표시한 데이터와 프로그램에서 구한 상수를 대입한 방정식으로 그린 그래프를 비교해봄으로써 구한 상수 값이 만족할만한 수치임을 알 수 있다. 두 번째, 기존의 데이터와 Excel에서 얻은 데이터, 그리고 프로그램을 실행해서 얻은 값을 비교한 결과는 다음과 같고, 매우 정확한 값을 얻었음을 알 수 있다.

참고 자료

Numerical methods for engineers