[수학사] 데데킨트의 컷팅 이론

소개글

데데킨트의 컷팅이론을 소개하고 증명하였다. 수학사를 수강하는 학생들에게 많은 도움이 되길 바란다.

목차

없음

본문내용

만약 우리가 유리수 q를 선택한다면, 우리는 두 개의 set, 즉 q보다 큰쪽과 q보다 작은쪽 을 생각할 수 있다. q 자신은 위쪽에 있는 것으로 두자. 그러면 q보다 작은 쪽의 set은
{x Q : x<q}로 정의 된다.
만약 우리가 하나의 set 안의 모든 수가 다른 set 안에 모든 수 보다 큰 두 개의 집합에 모든 유리수를 나누어 담을 수 있는 p(x)를 가진다면, 그것을 유리수의 cut의 정의에 이용할 수 있다. 그러면 두 set 중에 하나는
{x Q : p(x)} 로 표현할 수 있을 것이며, 다른 하나는 이것의 여집합이 될 것이다.
이러한 cut은 4 종류로 나눌 수 있다.
1. cut의 양쪽 끝에 유리수가 있는 것
2. cut의 아래 쪽 끝에 유리수, 위쪽 끝에 무리수
3. cut의 아래 쪽 끝에 유리수, 위쪽 끝에 무리수
4. cut의 양쪽 끝에 무리수
1번은 성립하지 않는다. 양쪽에 유리수가 존재한다면 두 유리수를 2로 나눈 유리수가 두 수 사이에 존재함으로 모순이다. 이러한 cut을 Dedekind cuts이라 부른다. 여기서 알 수 있는 것은 실수란 불연속적인 유리수 사이사이에 연속적인 무리수가 차 있다는 것이다.

참고 자료

짧게 그러나 완벽하게/김승욱저