수학과교육 과제

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-교재 98P
■ Klein 사원군을 조사하여 보아라.

㉮ 클라인 사원군의 정의: 군론에서, 클라인 4원군은 네 개의 원소를 가지는 순환군이 아닌 유일한 군

㉯ 클라인 사원군의 성질
1. 4차 순환군 Z/4와 더불어 크기가 4 인 두 개의 군 가운데 하나이다.
2. 클라인 사원군은 아벨군이며, 항등원을 제외한 나머지 원소들의 차수는 2차이다.

㉰ 클라인 사원군의 연산표
이 군은 위와 같은 연산표를 갖는다.
(단 A, B, C는 항등원이 아닌 서로 다른 원소들이다.)

연산표에서 보이듯이 항등원을 제외한 나머지 원소들의 위수는 2 이다. 즉 모든 원소는 자기 자신을 역원으로 갖는다. 또한 항등원을 제외한 서로 다른 두 원소의 연산 결과는 그 두 원소가 아닌 나머지 항등원이 아닌 원소와 같다.

한편, 이 연산표는 위수가 2 인 두 순환군의 직접곱(direct product)인 Z2 X Z2 의 연산표와 대수적 구조가 같다. 즉 클라인 사원군은 Z2 X Z2 와 동형이다.

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