괴델의 불완전성 정리

목차

1.머릿말
2.괴델의 불완전성 정리 내용
3.힐베르트의 계획
4. 괴델의 착상
5. 괴델의 정리와 그 주변
6. 맺음말

본문내용

수학에서 참이란 무엇인가? 수학은 무모순한가? 수학이 무모순하다면 그것은 증
명가능한가?
20세기초 제기된 이같은 일련의 물음에 대해 명쾌한 답을 준 것은 실로 무명의
수학자 괴델(Kurt G del)이며 그의 나이 불과 25세 때이다. 그가 빈 과학아카데미
의 "수학.물리학월보"에 한 편의 논문을 발표한 것은 1931년의 일이다. 빈 대학에
취직 논문으로 제출된 이 논문은 후일 학계와 많은 사상가를 놀라게 한 불완전성
정리(incompleteness theorem)에 관한 것이었다. 그 당시만 해도 그 내용이 난해하
여 몇몇 소수의 전문분야의 학자외에는 이해하지 못하였다. 그러나 오늘날에 와서
는 수학자 외에도 철학자, 컴퓨터의 전문학자, 인지과학자 등 여러 인접학문 분야
에서도 이 정리가 다양하게 인용되고 있다. 이 연구로 괴델은 1938년 이후 프린스
턴 대학교 고급학술연구소의 종신 연구원으로 초대받게 된다.
1952년 하바드 대학교에서 명예학위를 받을 때, "그는 현대논리학에서 가장 중요
한 진보를 이루게 하는 데 기여한 사람의 하나다." 라는 찬사를 받았다. 당시 미국
최고의 지성으로 알려진 프린스턴의 연구소장 오펜하이머(J.R. Oppenheimer)도 "괴
델의 이 연구는 인간의 이성 일반에 있어서 한계라는 것의 역할을 명확히 한 것이
다." 라고 극찬하였다.
괴델이 얻은 정리는 순수수학과 논리학 일반에 있어 가장 심원한 연구업적의 하
나가 된다는 평을 받아 마땅하거니와 그 결과는 참으로 학계의 큰 충격이었다. 왜
냐하면 그것은 우리 모두가 막연하게나마 믿고 있었던 논리학과 수학의 기본 원리
의 절대적인 진리성에 대한 확신을 바꾸게 하였기 때문이다. 1931년 이전까지는 기
하학에서 유크리트의 공리와 같이 모든 수학적인 이론체계가 내부에서 모순없이 몇
개의 기본 공리를 정하고 이로부터 모든 정리가 도출될 수 있는 연역적 체계화가
가능할 것으로 기대하였다. 그러나 괴델의 불완전성정리는 그같은 우리의 기대에
상반되는 결과를 얻게 되어 이를 수학에서의 패러다임(Paradigm) 또는 유크리트의
패러다임이라 할 수 있다.

참고 자료

1. E.W. BETH, Mathematical thought an introduction to the
philosophy of mathematics (1965)
2. E. NAGEL and J.R. NEWMAN, G del's proof, New York University Press (1958)
3. IIDA TAKASHI, Reading in the philosophy of mathematics : After Goedel
(일어판) (1995)
4. A.W. MOORE, The infinite (일어판) (1990)
5. J.W. ROBBIN, Mathematical logic, a first course, W.A. Benjamin (1969)
6. 임정대, 수학기초론, 청문각 (1995)

http://inhavision.inha.ac.kr/~g1983678/mataphy6-1.html
http://www.aistudy.co.kr/pioneer/Godel.K.htm